دفاعیه دکتری در دانشکده ریاضی

  میترا معینی (دانشجوی دوره دکتری ریاضی) روز دهم اسفند ماه از رساله دکتری خود با عنوان «حل معادلات شرودینگر یک بعدی وابسته به زمان روی دامنه بی کران» ساعت 11 در سالن کنفرانس دانشکده، دفاع خواهد نمود.

  چکیده این پروژه که راهنمایی آن بر عهده دکتر بتول جذبی می‌باشد به شرح زیر است:

  معادله شرودینگر وابسته به زمان عموما در فضای فیزیکی نا متناهی مطرح می شود. در این فضا ها نمی توانیم از روش های گسسته سازی کلاسیک مانند تفاضلات متناهی، عناصر متناهی، هم محلی و مانند آن ها استفاده نماییم. برای این منظور ابتدا دامنه فیزیکی را به یک دامنه متناهی ساده مانند مستطیل تبدیل می کنیم . سپس معادله شرودینگر یک بعدی وابسته به زمان و با شرط آغازی مختلط را با محمل فشرده در نظر می گیریم. بدون آن که از کلیت مسئله کاسته شود، فرض می کنیم محمل آن بازه بسته باشد. در این حالت مسئله را با شرایط دریکله – نیومن، یا نیومن – دریکله نا همگن، در نظر می گیریم

  گسسته سازی معادله شرودینگر با شرایط مصنوعی ، در دو مرحله، با دو شیوه متفاوت و در ارتباط با دو مبحث جدا از یکدیگر، انجام می شود. یکی با روش های گسسته سازی استاندارد در معادلات با مشتقات جزئی روی معادله شرودینگر و دیگری، با تکنیک های عددی، روی کران های مصنوعی که به فرم معادلات انتگرالی ولترا با کرنل منفرد ضعیف صورت می گیرد. شاید بتوان گفت که این مرحله، از دیدگاه عددی، پیچیده ترین مرحله حل معادله شرودینگر با شرایط مصنوعی است.

  ملاحظه می کنیم که با استفاده از تبدیل لاپلاس می توانیم به طور هم زمان، معادله حاکم و شرایط مرزی مانند دریکله- نیومن را از شکل دیفرانسیلی به فرم جبری، نسبت به زمان، تبدیل نماییم. نباید فراموش کرد که این مسئله بد وضعی خاص خودش را همراه دارد، البته نه در حدی که از ادامه این روش صرفنظر نماییم. در دومین مرحله با روش عددی معکوس تبدیل لاپلاس رو برو می شویم، که بد وضعی مسئله کاملا جدی است. به گفته روشن تر باید پارامتر های موجود در روش عددی معکوس تبدیل لاپلاس را به گونه تنظیم نماییم تا روش بطور نسبی پایدار گردد. البته این پایدار سازی هنوز بعد از حدود سی سال، از زمان انتشار آن، که به نام روش تالبوت شهرت یافت، در مرحله سعی و خطا است. در هر حال ترکیبی مناسب از داده ها و پارامتر ها وجود دارد، که جواب حاصل از آن ها، از جواب روش تفاضل های متناهی دقیق تر است. حال اگر عامل سرعت را نیز به دقت بیفزاییم، با این روش، سریع تر و دقیق تر به جواب معادله خواهیم رسید.