‏دفاعیه دکتری در دانشکده ریاضی

مهدی میرزاپور، دانشجوی دوره دکتری دانشکده ریاضی گرایش ریاضی کاربردی، شنبه سیزدهم آذرماه 95، از رساله خود با عنوان «اپراتورهای الگوریتمی در حل مسائل شدنی محدب و کاربرد آنها در تصویربرداری پزشکی» دفاع خواهد نمود.
چکیده این رساله که راهنمایی آن را دکتر تورج نیک آزاد و مشاوره اش را دکتر احمد گلبابایی بر عهده دارند به شرح زیر می باشد.
ضمنا جلسه دفاعیه در سالن شهیدحسنی دانشکده ریاضی و ساعت 15 برگزار خواهد شد.
یک مساله بسیار متداول در ریاضیات‏، مساله شدنی محدب می‌باشد که کاربردهای بسیاری در حوزه‌های مختلف علوم نظیر تصویربرداری پزشکی و پرتو درمانی(پرتونگاری)‏، میکروسکوپ الکترونی‏، پردازش سیگنال‏، مینیمم‌سازی توابع محدب غیر هموار و ... دارد.‎‎ یک روش متداول برای حل این مساله‏، استفاده از اپراتورهای الگوریتمی تکراری می‌باشد. ‏این روش‌های تکراری دارای ساختارهای الگوریتمی متفاوتی نظیر روش‌های تماماً دنباله‌ای (‎‏یا همزمان) و یک ساختار کلی‌تر‏، که بر اساس میانگین رشته‌ها می‌باشد‏، می باشند. ساختار اصلی مورد استفاده ما در این رساله بر اساس الگوریتم میانگین ‌رشته‌ها می‌باشد که این الگوریتم در عمل برای محاسبات موازی مناسب می‌باشد و درنتیجه قادر است مسائلی با اندازه بسیار بزرگ را حل کند.‎
‎‏این رساله بر روی استفاده از اپراتورهای الگوریتمی غیرخطی در حل مساله شدنی محدب و کاربرد آن‌ها در تصویربرداری پزشکی متمرکز می‌شود.‎ در ابتدا خانواده‌های مختلف اپراتوری در فضای هیلبرت را ‎‏معرفی می‌کنیم. این خانواده‌ها شامل‏ اپراتورهای تصویرمتعامد‏، تصویر زیرگرادیان‏، برشی تخفیف‌یافته‏ و شبه‌نامبسوط اکید می‌باشند. برای یک زیرخانواده از اپراتورهای شبه‌نامبسوط اکید‏، ویژگی شبه‌انقباضی را با یک ویژگی ضعیفتر کهGPP ‎‏ نامیده می‌شود جایگزین می‌کنیم که نیازی به شرط پیوسته بودن اپراتورها ندارد. همگرایی دنباله تولید شده بر اساس میانگین رشته‌های ساخته شده از اعضای خانواده اپراتورهای با ویژگی ‎GPP ‎‏ به نقطه ثابت خود همگراست. علاوه براین‏،‎‎ برای اولین بار‏، ‏تاثیر استفاده از وزن‌های بهینه بجای استفاده از پارامترهای تخفیف بهینه مورد بررسی قرار گرفته است. در ادامه‏، یک تابع طول گام برای سرعت‌دهی به فرایند نقطه ثابت الگوریتم میانگین رشته‌های اپراتورهای برشی تخفیف یافته اکید معرفی می‌کنیم و نشان می‌دهیم این فرایند به جواب همگراست. همچنین تابع طول گام و همگرایی را برای خانواده اپراتورهای شبه‌نامبسوط اکید بدست می‌آوریم. در پایان‏، ترکیب روش‌های بازسازی با پارامترهای متغیر و اپراتور تصویر متعامد را، که روش‌ متداولی در حوزه بازسازی تصاویر پزشکی می‌‌باشد، مورد بررسی قرار می‌دهیم و با استفاده از اپراتورهای الگوریتمی‏، همگرایی آن‌ را اثبات می‌کنیم. ‎ همچنین‏، فرایند موجود در دستگاه‌های سی تی اسکن را بصورت یک دستگاه معادلات خطی شدنی مدل‌سازی کرده و استفاده از وزن‌های آماری تقطیع شده را برای افزایش سرعت همگرایی پیشنهاد می‌کنیم‎.‎
واژگان کلیدی: ‎‏مساله شدنی محدب‏، اپراتورهای الگوریتمی‏، روش‌های تکراری نقطه‌ثابت‏، ویژگی شبه‌انقباضی تعمیم‌یافته‏، روش‌های بازسازی همزمان‏، سرعت‌دهی‏، میانگین ‌رشته‌ها‏، بازسازی تصاویر پزشکی‏، بازسازی تصویر با استفاده از تابش‌ پرتوها.